Как решить однородную систему уравнений?

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ 7x1 + 3x2 + 2x3 - 15x4 = 0

{ 5x1 - 3x2 + 4x3 - 3x4 = 0

smog2605 все правильно сказал - решение полностью в числах не существует,

потому что система неопределенная - переменных больше, чем уравнений.

Умножаем 1 уравнение на -5, а 2 уравнение на 2, и складываем их

Умножаем 3 уравнение на -2 и складываем с 1 уравнением

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ 9x1 - 9x2 + 9x3 + 0x4 = 0

{ -9x1 + 9x2 -9x3 + 0x4 = 0

Получилось, что 2 и 3 уравнение одинаковые, но это не страшно.

Это означает, что у нас 2 уравнения и 4 неизвестных. То есть 2 независимых неизвестных и 2 зависимых.

Оставляем 2 уравнение и делим его на 9

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ x1 - x2 + x3 = 0

Складываем уравнения

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ 2x1 + 2x2 + 0x3 = 0

Делим 2 уравнение на 2

{ x1 + 3x2 - x3 - 6x4 = 0

{ x1 + x2 = 0

x2 = -x1, подставляем в 1 уравнение

x1 - 3x1 - x3 - 6x4 = 0

x3 + 6x4 = -2x1

Выбираем x4 как независимую переменную

Решение:

x1 и x4 - любые

x2 = -x1

x3 = -2x1 - 6x4

Вот и все

Запишем матрицу:

1 3 -1 -6

7 3 2 -15

5 -3 4 -3 И приведем ее к диагональному виду. Для этого умножим первую строчку на -7 и прибавим ее ко второй строке:

1 3 -1 -6

0 -18 9 27

5 -3 4 -3

Аналогично сделаем и для третьей: умножим первую строчку на -5 и прибавим к третьей:

1 3 -1 -6

0 -18 9 27

0 -18 9 27

Так как получили две одинаковые строчки, то одну можно отбросить, тогда получим:

1 3 -1 -6

0 -18 9 27

Разделим вторую строчку на -9:

1 3 -1 -6

0 2 -1 -3

Тогда получим, что ранг данной матрицы равен 2. И тогда исходная система имеет два независимых нетривиальных решения ( так как 4-2=2, где 4 - число неизвестных).

Получим:

х1+3х2-х3-6х4=0

2х2-х3-3х4=0

Тогда получим, что х2=х3+3х4

х2=1/2*х3+3/2*х4

Подставляем в первое уравнение:

х1+1/2*х3-3/2*х4=0, х1=-1/2*х3+3/2*х4

Получаем, что у нас две свободные переменные это х3 и х4. А х1 и х2 - главные переменные.

Составим таблицу: подставим по очереди 1 в качестве одной из свободных переменных х3 и х4

х1 х2 х3 х4

х3 -1/2 1/2 1 0

х4 3/2 3/2 0 1

Тогда общее решение может быть записано так:

с1*(-1/2, 1/2, 1, 0)+с2*(3/2,3/2, 0, 1)

А векторы Х1=(-1/2,1/2,1,0) и Х3=(3/2,3/2,0,1) образуют фундаментальную систему решений данной системы уравнений.

Системы уравнений могут иметь однозначное решение только в том случае, когда количество неизвестных равно количеству "независимых уравнений" (т.е. ни одно из них невозможно получить линейной комбинацией других). В Вашей задаче неизвестных 4, а уравнений только 3 (не проверял, являются ли они независимыми), значит оно не может быть решено.

В привычном понимании решение для этой задачи не существует, но они рассматриваются в разделе аналитическая геометрия.

Условное решение существует только если одну из переменных определить числом. И вот для каждого значения этой переменной будет существовать ответ для трех оставшихся. Попробуем.

Х1+3Х2-Х3-6Х4=0

7Х1+3Х2+2Х3-15Х4=0

5Х1-3Х2+4Х3-3Х4=0

Преобразуем систему

-Х1+Х3+6Х4=3Х2

-7Х1-2Х3+15Х4=3Х2

5Х1+4Х3-3Х4=3Х2

Теперь обозначим 3Х2=К т будем считать что К постоянное число

-Х1+Х3+6Х4=К

-7Х1-2Х3+15Х4=К

5Х1+4Х3-3Х4=К

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Решаем любым доступным способом. Если не ошибся, получаем.

Х1=1,31К

Х3=-8,73К

Х4=1,84К

Или

Х1=3,93Х2

Х3=-26,19Х2

Х4=5,52Х2

Получили зависимость переменных Х1 Х3 Х4 от переменной Х2

Это наверное уже четвертое измерение, тяжело себе представить это графически, но можно попробовать. Если изменять Х2 от -∞ до +∞ , то мы получим бесконечное количество комбинаций Х1 Х3 Х4. Каждая из этих комбинаций есть координата точки в декартовой системе координат. Если все эти точки построить на одном чертеже, то получится какая то не вообразимая кривая поверхность. По всей видимости это и будет решением.

Безусловно эту систему можно решить и в другой зависимости. Например зависимость.

Х2 Х3 Х4 от переменной Х1

Х1 Х2 Х4 от переменной Х3

Х1 Х2 Х3 от переменной Х4

Прошу прощения,я давно закончила универ,не помню точно что такое крамер,гаусс смутно помнится,но мне кажется что так:

1)матрица

1 3 -1 -6

7 3 2 -15

5 -3 4 -3

2)Нашли единицу в 1-ом столбце в 1-ой строке

3)Умножили 1-ую строку на 7

7 21 -7 -42

7 3 2 -15

5 -3 4 -3

4)Вычли 1-ую строку из 2-ой строки и восстановили ее

1 3 -1 -6

0 -18 9 27

5 -3 4 -3

5)Умножили 1-ую строку на 5

5 15 -5 -30

0 -18 9 27

5 -3 4 -3

6)Вычли 1-ую строку из 3-ей строки и восстановили ее

1 3 -1 -6

0 -18 9 27

0 -18 9 27

7)Получили единицу в 2-ом столбце разделив 2-ую строку на -18

1 3 -1 -6

0 1 -1/2 -3/2

0 -18 9 27

8)Умножили 2-ую строку на 3

1 3 -1 -6

0 3 -3/2 -9/2

0 -18 9 27

9)Вычли 2-ую строку из 1-ой строки и восстановили ее

1 0 1/2 -3/2

0 1 -1/2 -3/2

0 -18 9 27

10)Умножили 2-ую строку на -18

1 0 1/2 -3/2

0 -18 9 27

0 -18 9 27

11)Вычли 2-ую строку из 3-ей строки и восстановили ее

1 0 1/2 -3/2

0 1 -1/2 -3/2

0 0 0 0

Ответ:

x1 = -3/2 - (1/2)x3

x2 = -3/2 + (1/2)x3

x3 - свободная

У меня вот так вышло, не знаю правильно ли так делать.